Det ubestemt integral er den omvendte funktion af afledningen og til at betegne den anvendes symbolet for de aflange "s": ∫. Matematisk skrives den ubestemte integral af funktionen F (x):
∫F (x) dx = f (x) + C.
Hvor integranden F (x) = f '(x) er en funktion af variablen x, som igen er afledt af en anden funktion f (x), kaldet integral eller antiderivativ.
Til gengæld er C en konstant kendt som konstant integration, som altid ledsager resultatet af hver ubestemt integral. Vi vil se dens oprindelse straks gennem et eksempel.
Antag, at vi bliver bedt om at finde følgende ubestemte integral I:
I = ∫x.dx
Straks identificeres f '(x) med x. Det betyder, at vi skal tilvejebringe en funktion f (x), så dens afledte er x, hvilket ikke er svært:
f (x) = ½ xto
Vi ved, at ved at differentiere f (x) får vi f '(x), kontrollerer vi det:
[½ xto] '= 2. (½ x) = x
Nu er funktionen: f (x) = ½ xto + 2 opfylder også kravet, da afledningen er lineær, og afledningen af en konstant er 0. Andre funktioner, som når afledt giver f (x) = er:
½ xto -1, ½ xto + femten; ½ xto - √2 ...
Og generelt alle funktionerne i formen:
f (x) = ½ xto + C
De er korrekte svar på problemet.
Enhver af disse funktioner kaldes antiderivativ eller primitiv af f '(x) = x, og det er netop for dette sæt af alle antiderivativer af en funktion, hvad der er kendt som ubestemt integral.
Det er nok kun at kende en af primitiverne, for som det kan ses, er den eneste forskel mellem dem den konstante C af integration.
Hvis problemet indeholder indledende betingelser, er det muligt at beregne værdien af C for at passe dem (se det løste eksempel nedenfor).
Artikelindeks
I det foregående eksempel blev ∫x.dx beregnet, fordi en funktion f (x) var kendt, som, når den blev afledt, resulterede i integranden.
Af denne grund, fra de mest kendte funktioner og deres derivater, kan grundlæggende integraler hurtigt løses.
Derudover er der nogle vigtige egenskaber, der udvider rækkevidden af muligheder, når man løser en integral. Være k et reelt tal, så er det rigtigt, at:
1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C
2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
4.- ∫xn dx = [xn + 1/ n + 1] + C (n ≠ -1)
5.- ∫x -1 dx = ln x + C.
Afhængigt af integranden er der forskellige algebraiske såvel som numeriske metoder til løsning af integraler. Her nævner vi:
-Variabel ændring
-Algebraiske og trigonometriske substitutioner.
-Integration af dele
-Nedbrydning i enkle fraktioner til integrand af rationel type
-Brug af tabeller
-Numeriske metoder.
Der er integraler, der kan løses ved mere end en metode. Desværre er der ikke noget enkelt kriterium for på forhånd at bestemme den mest effektive metode til at løse en given integral.
Faktisk giver nogle metoder dig mulighed for at nå løsningen på visse integraler hurtigere end andre. Men sandheden er, at for at tilegne dig færdighedsløsningsintegraler skal du øve med hver metode.
Sorter ud:
Lad os foretage en simpel variabelændring for den subradikale størrelse:
u = x-3
Med:
x = u + 3
At udlede begge sider i et af de to udtryk giver:
dx = du
Nu erstatter vi i integralen, som vi vil betegne som I:
I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u1/2 du
Vi anvender fordelende ejendom og multiplikation af beføjelser med lige base, og vi opnår:
I = ∫ (u3/2 + 3 u1/2) du
Efter ejendom 3 fra forrige afsnit:
Jeg = ∫ u3/2 du + ∫ 3u1/2 du
Nu anvendes ejendom 4, som er kendt som magtregel:
∫ u3/2 du = [u 3/2 + 1 / (3/2 + 1)] + C1 =
= [u5/2 / (5/2)] + C1 = (2/5) u5/2 + C1
∫ 3u1/2 du = 3 ∫u1/2 du = 3 [u3/2 / (3/2)] + Cto =
= 3 (2/3) u3/2 + Cto = 2u3/2 + Cto
Derefter samles resultaterne i I:
I = (2/5) u5/2 + 2u3/2 + C
De to konstanter kan kombineres til en uden problemer. Endelig skal du ikke glemme at returnere den ændring af variablen, der blev foretaget før, og udtrykke resultatet i form af den oprindelige variabel x:
I = (2/5) (x-3)5/2 + 2 (x-3)3/2 + C
Det er muligt at faktorere resultatet:
I = 2 (x-3) 3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) 3/2 (x + 2) + C
Den ubestemte integral gælder for adskillige modeller inden for natur- og samfundsvidenskab, for eksempel:
I løsningen af bevægelsesproblemer, at beregne hastigheden på en mobil, ved at kende dens acceleration og i beregningen af positionen på en mobil, at kende dens hastighed.
Når man f.eks. Beregner produktionsomkostningerne for varer og modellerer en efterspørgselfunktion.
Den krævede minimumshastighed for et objekt for at undslippe jordens tyngdekraft er givet ved:
I dette udtryk:
-v er hastigheden på det objekt, der ønsker at flygte fra jorden
-y er afstanden målt fra centrum af planeten
-M er landmassen
-G er konstant af tyngdekraften
Det bliver bedt om at finde forholdet mellem v Y Y, løsning af de ubestemte integraler, hvis objektet får en indledende hastighed veller og Jordens radius er kendt og kaldes R.
Vi præsenteres for to ubestemte integraler, der skal løses ved hjælp af integrationsreglerne:
jeg1 = ∫v dv = vto/ 2 + C1
jegto = -GM ∫ (1 / yto) dy = -GM ∫ y-to dy = -GM [y-2 + 1/ (- 2 + 1)] + Cto = GM. Y-1 + Cto
Vi sidestiller jeg1 og jegto:
vto/ 2 + C1 = GM. Y-1 + Cto
De to konstanter kan kombineres til en:
Når integralerne er løst, anvender vi de indledende betingelser, som er følgende: når objektet er på jordens overflade, er det i en afstand R fra dets centrum. I erklæringen fortæller de os, at y er afstanden målt fra midten af jorden.
Og bare at være på overfladen er, at den får den indledende hastighed vo, hvormed den vil flygte fra planetens tyngdekraft. Derfor kan vi fastslå, at v (R) = veller. I så fald forhindrer intet os i at erstatte denne tilstand i det resultat, vi lige har opnået:
Og da veller er kendt, og det samme er G, M og R, vi kan løse værdien af konstanten af integration C:
Som vi kan erstatte i resultatet af integralerne:
Og endelig rydder vi vto, factoring og gruppering passende:
Dette er det udtryk, der relaterer hastigheden v af en satellit, der er affyret fra planetens overflade (med radius R) med starthastighed vo, når det er på afstand Y fra midten af planeten.
Endnu ingen kommentarer