EN antiderivativ F (x) af en funktion F(x) kaldes også primitiv eller simpelthen den ubestemte integral af funktionen, hvis den er i et givet interval jeg, Det er sandt, at F '(x) = f (x)
Lad os for eksempel tage følgende funktion:
f (x) = 4x3
Et antiderivativ af denne funktion er F (x) = x4, siden når der udledes F (x) ved hjælp af afledningsreglen for beføjelserne:
Vi får nøjagtigt f (x) = 4x3.
Dette er dog kun et af de mange antiderivativer af f (x), da denne anden funktion: G (x) = x4 + 2 er også, fordi når man differentierer G (x) med hensyn til x, opnås det samme tilbage f (x).
Lad os tjekke det ud:
Husk, at afledningen af en konstant er 0. Derfor er udtrykket x4 du kan tilføje en hvilken som helst konstant, og dens afledte forbliver 4x3.
Det konkluderes, at enhver funktion af den generelle form F (x) = x4 + C, hvor C er en reel konstant, tjener som antiderivativ for f (x).
Det illustrative eksempel ovenfor kan udtrykkes således:
dF (x) = 4x3 dx
Den antiderivative eller ubestemte integral udtrykkes med symbolet ∫, derfor:
F (x) = ∫4x3 dx = x4 + C
Hvor funktionen f (x) = 4x3 det kaldes integrering, og C er konstant integration.
Artikelindeks
At finde et antiderivativ af en funktion er ligetil i nogle tilfælde, hvor derivaterne er velkendte. Lad f.eks. Funktionen f (x) = sin x, en antiderivativ for den er en anden funktion F (x), således at når vi differentierer den, får vi f (x).
Denne funktion kan være:
F (x) = - cos x
Lad os kontrollere, at det er sandt:
F '(x) = (- cos x)' = - (-sen x) = sin x
Derfor kan vi skrive:
∫sen x dx = -cos x + C
Ud over at kende derivaterne er der nogle grundlæggende og enkle integrationsregler for at finde den antiderivative eller ubestemte integral.
Lad k være en reel konstant, så:
1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C
to.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
Hvis en funktion h (x) kan udtrykkes som addition eller subtraktion af to funktioner, er dens ubestemte integral:
3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
Dette er egenskaben ved linearitet.
Det magtregel for integraler kan det indstilles på denne måde:
I tilfælde af n = -1 anvendes følgende regel:
5.- ∫x -1 dx = ln x + C.
Det er let at vise, at afledningen af ln x det er netop x -1.
En differentialligning er en, hvor det ukendte findes som et derivat.
Fra den foregående analyse er det let at indse, at den inverse operation til derivatet er den antiderivative eller ubestemte integral.
Lad f (x) = y '(x), det vil sige afledningen af en bestemt funktion. Vi kan bruge følgende notation til at indikere dette derivat:
Det følger straks, at:
dy = f (x) dx
Det ukendte af differentialligningen er funktionen y (x), den hvis afledte er f (x). For at løse det er det forrige udtryk integreret på begge sider, hvilket svarer til anvendelse af antiderivativet:
∫dy = ∫f (x) dx
Den venstre integral løses af integrationsreglen 1 med k = 1 og løser således det ønskede ukendte:
y (x) = ∫f (x) dx = F (x) + C.
Og da C er en reel konstant, for at vide hvilken der er passende i hvert tilfælde, skal udsagnet indeholde tilstrækkelig yderligere information til at beregne værdien af C. Dette kaldes oprindelig tilstand.
Vi vil se eksempler på anvendelse af alt dette i det næste afsnit.
Anvend integrationsreglerne for at opnå følgende antiderivativer eller ubestemte integraler af de givne funktioner, hvilket forenkler resultaterne så meget som muligt. Det er praktisk at kontrollere resultatet ved afledning.
Vi anvender regel 3 først, da integranden er summen af to udtryk:
∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx
For den første integral gælder beføjelsesreglen:
∫ xdx = (xto / 2) + C1
Regel 1 gælder for den anden integral, hvor k = 7:
∫7dx = 7∫dx = 7x + C.to
Og nu tilføjes resultaterne. De to konstanter er grupperet i en, kaldet generisk C:
∫ (x + 7) dx = (xto / 2) + 7x + C
Ved linearitet nedbrydes denne integral i tre enklere integraler, som power-reglen vil blive anvendt på:
∫ (x3/2 + xto + 6) dx = ∫x3/2 dx + ∫xto dx + ∫6 dx =
Bemærk, at en konstant integration vises for hver integral, men de mødes i et enkelt opkald C.
I dette tilfælde er det praktisk at anvende den fordelende egenskab ved multiplikation for at udvikle integranden. Derefter bruges strømreglen til at finde hver integral separat, som i den foregående øvelse.
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3xto-2x + 3x-2) dx = ∫ (3xto + x - 2) dx
Den omhyggelige læser vil bemærke, at de to centrale udtryk er ens, derfor reduceres de, inden de integreres:
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3xto dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x3 + (1/2) xto - 2x + C
En måde at løse integralet på ville være at udvikle magten, som det blev gjort i eksempel d. Da eksponenten er højere, ville det imidlertid være tilrådeligt at ændre variablen for ikke at skulle gøre en så lang udvikling.
Ændringen af variablen er som følger:
u = x + 7
Afledes dette udtryk til begge sider:
du = dx
Integralet omdannes til en enklere med den nye variabel, som løses med magtreglen:
∫ (x + 7)5 dx = ∫ u5 du = (1/6) u6 + C
Endelig returneres ændringen for at vende tilbage til den oprindelige variabel:
∫ (x + 7)5 dx = (1/6) (x + 7)6 + C
En partikel er oprindeligt i ro og bevæger sig langs x-aksen. Dens acceleration for t> 0 gives af funktionen a (t) = cos t. Det er kendt, at ved t = 0 er positionen x = 3, alt sammen i internationale systemenheder. Det bliver bedt om at finde hastigheden v (t) og partiklens position x (t).
Da acceleration er det første afledte af hastighed med hensyn til tid, har vi følgende differentialligning:
a (t) = v '(t) = cos t
Den følger det:
v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C.1
På den anden side ved vi, at hastigheden igen er afledt af positionen, derfor integreres vi igen:
x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C.1) dt = ∫sen t dt + ∫C1 dt = - cos t + C.1 t + Cto
Integrationskonstanterne bestemmes ud fra oplysningerne i erklæringen. For det første står det, at partiklen oprindeligt var i ro, derfor var v (0) = 0:
v (0) = sin 0 + C1 = 0
C1 = 0
Så har vi det x (0) = 3:
x (0) = - cos 0 + C.1 0 + Cto = - 1 + Cto = 3 → Cto = 3 + 1 = 4
Hastigheds- og positionsfunktionerne er bestemt sådan:
v (t) = sin t
x (t) = - cos t + 4
Endnu ingen kommentarer