EN permutation uden gentagelse af n-elementer er de forskellige grupper af forskellige elementer, der kan opnås ved ikke at gentage noget element, kun variere rækkefølgen af placeringen af elementerne.
For at finde ud af antallet af permutationer uden gentagelse anvendes følgende formel:
Pn = n!
Hvilket udvidet ville være Pn = n! = N (n - 1) (n - 2) ... (2) (1).
Så i det forrige praktiske eksempel ville det blive anvendt som følger:
P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 forskellige 4-cifrede tal.
Disse er de 24 arrays i alt: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.
Som det kan ses, er der under ingen omstændigheder nogen gentagelse, idet de er 24 forskellige tal.
Artikelindeks
Vi vil analysere mere specifikt eksemplet på de 24 forskellige firecifrede arrangementer, der kan dannes med cifrene i nummeret 2468. Antallet af arrangementer (24) kan være kendt som følger:
Du har 4 muligheder for at vælge det første ciffer, der efterlader 3 muligheder for at vælge det andet. To cifre er allerede indstillet, og der er stadig 2 muligheder for at vælge det tredje ciffer. Det sidste ciffer har kun en valgmulighed.
Antallet af permutationer, betegnet med P4, opnås derfor med produktet af valgmulighederne i hver position:
P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 forskellige firecifrede tal
Generelt er antallet af permutationer eller forskellige arrangementer, der kan udføres med alle n-elementerne i et givet sæt:
Pn = n! = N (n - 1) (n - 2) ... (2) (1)
Udtrykket n! er kendt som n faktor og betyder produktet af alle naturlige tal, der ligger mellem tallet n og nummer et, inklusive begge.
Antag nu, at du vil vide antallet af permutationer eller tocifrede tal, der kan dannes med cifrene i nummeret 2468.
Disse ville være i alt 12 arrangementer: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86
Du har 4 muligheder for at vælge det første ciffer, der efterlader 3 cifre for at vælge det andet. Derfor opnås antallet af permutationer af de 4 cifre taget to efter to, betegnet med 4P2, ved hjælp af produktet af valgmulighederne i hver position:
4P2 = 4 * 3 = 12 forskellige 2-cifrede tal
Generelt er antallet af permutationer eller forskellige arrangementer, der kan udføres med r-elementerne i alt i et givet sæt:
nPr = n (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)]
Ovenstående udtryk er afkortet, før du spiller n!. For at fuldføre n! ud fra det skal vi skrive:
n! = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] (n - r)… (2) (1)
De faktorer, som vi tilføjer, repræsenterer til gengæld en faktor:
(n - r)… (2) (1) = (n - r)!
Derfor,
n! = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] (n - r)!
Herfra
n! / (n - r)! = N (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)] = nPr
Hvor mange forskellige bogstaver med 5 bogstaver kan konstrueres med bogstaverne i ordet KEY??
Vi ønsker at finde antallet af forskellige 5-bogstavskombinationer, der kan konstrueres med de 5 bogstaver i ordet KEY; det vil sige antallet af 5-bogs-arrays, der involverer alle de tilgængelige bogstaver i ordet KEY.
Antal ord på 5 bogstaver = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 forskellige 5-bogstavskombinationer.
Disse ville være: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC ... op til 120 forskellige bogstavkombinationer i alt.
Du har 15 nummererede kugler, og du vil vide, hvor mange forskellige grupper på 3 kugler, der kan bygges med de 15 nummererede kugler?
Du vil finde antallet af grupper på 3 kugler, der kan laves med de 15 nummererede kugler.
Antal grupper på 3 kugler = 15P3 = 15! / (15 - 3)!
Antal grupper på 3 kugler = 15 * 14 * 13 = 2730 grupper på 3 kugler
En frugtbutik har en udstillingsstand, der består af en række rum placeret i entreen til lokalet. På en dag erhverver grønthandleren til salg: appelsiner, bananer, ananas, pærer og æbler.
a) Hvor mange forskellige måder har du for at bestille messestanden?
b) Hvor mange forskellige måder har du at bestille standen, hvis du ud over de ovennævnte frugter (5) modtog den dag: mango, ferskner, jordbær og druer (4)?
a) Vi ønsker at finde antallet af forskellige måder at bestille alle frugterne i displayrækken på; det vil sige antallet af arrangementer med 5 frugtgenstande, der involverer alle de frugter, der er til salg den dag.
Antal standarrangementer = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Antal standarrangementer = 120 måder at præsentere standen på
b) Vi vil finde antallet af forskellige måder at bestille alle frugterne i displayrækken, hvis der blev tilføjet yderligere 4 varer; det vil sige antallet af arrangementer med 9 frugtgenstande, der involverer alle de frugter, der er til salg den dag.
Antal standerarrangementer = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Antal standarrangementer = 362.880 måder at præsentere standen på
En lille stikkontakt har en grund med plads nok til at parkere 6 køretøjer.
a) Hvor mange forskellige måder at bestille køretøjerne på grunden kan vælges?
b) Antag, at der erhverves en sammenhængende grund, hvis dimensioner tillader at parkere 10 køretøjer, hvor mange forskellige måder at bestille køretøjerne kan vælges nu?
a) Vi vil finde antallet af forskellige måder at bestille de 6 køretøjer, der kan placeres på grunden.
Antal arrangementer for de 6 køretøjer = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Antal arrangementer for de 6 køretøjer = 720 forskellige måder at bestille de 6 køretøjer på grunden.
b) Vi ønsker at finde antallet af forskellige måder at bestille på grunden på de 10 køretøjer, der kan huse efter udvidelsen af grunden.
Antal anordninger for de 10 køretøjer = P10 = 10!
Antal køretøjsarrangementer = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Antal arrangementer for de 10 køretøjer = 3.628.800 forskellige måder at bestille de 10 køretøjer på grunden.
En blomsterhandler har blomster i 6 forskellige farver for at fremstille blomsterflag fra nationer, der kun har 3 farver. Hvis det vides, at rækkefølgen af farverne er vigtig i flagene,
a) Hvor mange forskellige flag i 3 farver kan laves med de 6 tilgængelige farver?
b) Sælgeren køber blomster i yderligere 2 farver til de 6, han allerede havde, hvor mange forskellige flag i 3 farver kan der nu laves?
c) Da du har 8 farver, beslutter du at udvide dit tilbud om flag, hvor mange forskellige flag med 4 farver kan du lave?
d) Hvor mange af 2 farver?
a) Vi ønsker at finde antallet af forskellige flag med 3 farver, der kan laves ved at vælge blandt de 6 tilgængelige farver.
Antallet af 3-farvede flag = 6P3 = 6! / (6-3)!
Antal 3-farvede flag = 6 * 5 * 4 = 120 flag
b) Du vil finde antallet af forskellige flag med 3 farver, der kan laves ved at vælge blandt de 8 tilgængelige farver.
Antallet af 3-farvede flag = 8P3 = 8! / (8-3)!
Antallet af 3-farvede flag = 8 * 7 * 6 = 336 flag
c) Antallet af forskellige 4-farvede flag, der kan laves ved at vælge blandt de 8 tilgængelige farver, skal beregnes.
Antallet af 4-farvede flag = 8P4 = 8! / (8-4)!
Antal 4-farvede flag = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 flag
d) Du vil bestemme antallet af forskellige flag med 2 farver, der kan laves ved at vælge blandt de 8 tilgængelige farver.
Antal 2-farvede flag = 8P2 = 8! / (8 - 2)!
Antal 2-farvede flag = 8 * 7 = 56 flag
Endnu ingen kommentarer