Det konstant integration Det er en merværdi til beregningen af antiderivativer eller integraler, den tjener til at repræsentere de løsninger, der udgør en funktions primitive. Udtryk en iboende tvetydighed, hvor enhver funktion har et uendeligt antal primitiver.
Hvis vi f.eks. Tager funktionen: f (x) = 2x + 1, og vi får dens antiderivative:
∫ (2x + 1) dx = xto + x + C ; Hvor C er konstant integration og repræsenterer grafisk den lodrette oversættelse mellem primitivens uendelige muligheder. Det er korrekt at sige det (xto + x) er -en af primitiverne for f (x).
På samme måde kan vi definere en (xto + x + C ) som primitiv for f (x).
Artikelindeks
Det kan bemærkes, at ved at aflede udtrykket (xto + x) funktionen f (x) = 2x + 1 opnås. Dette skyldes den omvendte egenskab, der findes mellem afledningen og integrationen af funktioner. Denne egenskab gør det muligt at opnå integrationsformler startende fra differentieringen. Hvilket tillader verifikation af integraler gennem de samme derivater.
Dog (xto + x) er ikke den eneste funktion, hvis afledte er lig med (2x + 1).
Hvor 1, 2, 3 og 4 repræsenterer bestemte primitiver af f (x) = 2x + 1. Mens 5 repræsenterer den ubestemte eller primitive integral af f (x) = 2x + 1.
Primitiverne for en funktion opnås gennem antiderivation eller integreret proces. Hvor F vil være en primitiv af f, hvis følgende er sandt
Det kan ses, at en funktion har et enkelt derivat, i modsætning til dets uendelige primitiver som følge af integration.
∫ f (x) dx = F (x) + C.
Det svarer til en familie af kurver med det samme mønster, der oplever uoverensstemmelse i værdien af billederne for hvert punkt (x, y). Hver funktion, der opfylder dette mønster, vil være en individuel primitiv, og sættet med alle funktioner er kendt som ubestemt integral.
Værdien af konstant integration vil være den, der adskiller hver funktion i praksis.
Det konstant integration foreslår et lodret skift i alle grafer, der repræsenterer primitiverne for en funktion. Hvor paralleliteten mellem dem observeres, og det faktum at C er værdien af forskydningen.
I henhold til almindelig praksis konstant integration det er betegnet med bogstavet "C" efter et addend, skønt det i praksis ikke betyder noget, om konstanten tilføjes eller trækkes fra. Dens reelle værdi kan findes på forskellige måder efter forskellige indledende betingelser.
Det blev allerede talt om, hvordan konstant integration anvendes i grenen af integreret beregning; Repræsenterer en familie af kurver, der definerer den ubestemte integral. Men mange andre videnskaber og grene har tildelt meget interessante og praktiske værdier konstant integration, der har lettet udviklingen af flere studier.
I fysisk konstanten af integration kan tage flere værdier afhængigt af dataens art. Et meget almindeligt eksempel er at kende funktionen V (t) som repræsenterer hastighed af en partikel versus tid t. Det er kendt, at når man beregner en primitiv af V (t), opnås funktionen R (t) som repræsenterer position partikel versus tid.
Det konstant integration repræsenterer værdien af startpositionen, dvs. på tidspunktet t = 0.
Tilsvarende, hvis funktionen er kendt A (t) som repræsenterer acceleration af partiklen versus tid. Den primitive af A (t) vil resultere i funktionen V (t), hvor konstant integration vil være værdien af starthastigheden V.0.
I økonomi, ved at opnå ved hjælp af integration det primitive af en omkostningsfunktion. Det konstant integration repræsenterer faste omkostninger. Og så mange andre applikationer, der fortjener differentieret og integreret beregning.
For at beregne konstant integration, det vil altid være nødvendigt at kende indledende betingelser. Hvilke er ansvarlige for at definere, hvilke af de mulige primitiver, der er de tilsvarende.
I mange applikationer behandles det som en uafhængig variabel på tidspunktet (t), hvor konstanten C tager de værdier, der definerer indledende betingelser i den særlige sag.
Hvis vi tager det indledende eksempel: ∫ (2x + 1) dx = xto + x + C
En gyldig startbetingelse kan være at betingelsen om, at grafen passerer gennem en bestemt koordinat. For eksempel er det kendt, at den primitive (xto + x + C) passerer gennem punktet (1, 2)
F (x) = xto + x + C; dette er den generelle løsning
F (1) = 2
Vi erstatter den generelle løsning i denne lighed
F (1) = (1)to + (1) + C = 2
Fra hvor det let følger det C = 0
På denne måde er den tilsvarende primitive for denne sag F (x) = xto + x
Der er flere typer numeriske øvelser, der arbejder med konstanter af integration. Faktisk holder differentierings- og integralregningen ikke op med at blive anvendt i aktuelle undersøgelser. På forskellige akademiske niveauer kan de findes; fra den indledende beregning gennem fysik, kemi, biologi, økonomi, blandt andre.
Det ses også i undersøgelsen af differentialligninger, hvor er konstant integration Det kan tage forskellige værdier og løsninger, dette på grund af de mange afledninger og integrationer, der udføres i denne sag.
Det er kendt, at accelerationen i en ensartet varieret retlinet bevægelse er en konstant værdi. Dette er tilfældet med projektilstart, hvor accelerationen vil være tyngdekraften
g = - 10 m / sto
Det er også kendt, at accelerationen er det andet afledte af positionen, hvilket indikerer en dobbelt integration i øvelsens opløsning, hvorved der opnås to konstanter af integration.
A (t) = -10
V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C1
De første betingelser for øvelsen indikerer, at starthastigheden er V0 = 25 m / s. Dette er hastigheden på tidspunktet t = 0. På denne måde er det tilfreds med:
V (0) = 25 = -10 (0) + C1 Y C1 = 25
Hastighedsfunktionen defineres
V (t) = -10t + 25; Ligheden med MRUV-formlen (VF = V0 + a x t)
På en homolog måde fortsætter vi med at integrere hastighedsfunktionen for at opnå det udtryk, der definerer positionen:
R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5tto + 25t + Cto
R (t) = -5tto + 25t + Cto (primitiv position)
Startpositionen R (0) = 30 m er kendt. Derefter beregnes projektilets særlige primitive.
R (0) = 30m = -5 (0)to + 25 (0) + Cto . Hvor Cto = 30
Den første sektion er løst siden R (t) = -5tto + 25t + 30 ; Dette udtryk er homologt med forskydningsformlen i MRUV R (t) = R0 + V0t - gtto/to
For det andet afsnit skal den kvadratiske ligning løses: -5tto + 25t + 30 = 0
Da dette betinger, at partiklen når jorden (position = 0)
Faktisk giver 2. graders ligning os 2 løsninger T: 6, -1. Værdien t = -1 ignoreres, fordi det er tidsenheder, hvis domæne ikke inkluderer negative tal.
På denne måde løses det andet afsnit, hvor flyvetiden er lig med 6 sekunder.
Med informationen fra det andet afledte f "(x) = 4 begynder antideriveringsprocessen
f '(x) = ∫f "(x) dx
∫4 dx = 4x + C.1
Derefter kender vi tilstanden f '(2) = 2, og fortsætter:
4 (2) + C1 = 2
C1 = -6 og f '(x) = 4x - 8
Fortsæt på samme måde i det andet konstant integration
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2xto - 8x + Cto
Den oprindelige betingelse f (0) = 7 er kendt, og vi fortsætter:
2 (0)to - 8 (0) + Cto = 7
Cto = 7 og f (x) = 2xto - 8x + 7
På samme måde som det foregående problem definerer vi de første derivater og den oprindelige funktion ud fra de oprindelige betingelser.
f '(x) = ∫f "(x) dx
∫ (xto) dx = (x3/ 3) + C1
Med betingelsen f '(0) = 6 fortsætter vi:
(03/ 3) + C1 = 6; Hvor1 = 6 og f '(x) = (x3/ 3) + 6
Så det andet konstant integration
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ [(x3/ 3) + 6] dx = (x4/ 12) + 6x + Cto
Den oprindelige betingelse f (0) = 3 er kendt, og vi fortsætter:
[(0)4/ 12] + 6 (0) + Cto = 3; Hvorto = 3
Således opnår vi den primitive særlige
f (x) = (x4/ 12) + 6x + 3
Det er vigtigt at huske, at derivater henviser til linjens hældning, der tangerer kurven på et givet punkt. Hvor det ikke er korrekt at antage, at grafen for derivatet berører det angivne punkt, da dette hører til grafen for den primitive funktion.
På denne måde udtrykker vi differentialligningen som følger:
dy = (2x - 2) dx ; så når vi anvender anti-derivationskriterierne har vi:
∫dy = ∫ (2x - 2) dx
y = xto - 2x + C
Anvendelse af den oprindelige tilstand:
2 = (3)to - 2 (3) + C
C = -1
Opnås: f (x) = xto - 2x - 1
Vi udtrykker differentialligningen som følger:
dy = (3xto - 1) dx ; så når vi anvender anti-derivationskriterierne har vi:
∫dy = ∫ (3xto - 1) dx
y = x3 - x + C
Anvendelse af den oprindelige tilstand:
2 = (0)to - 2 (0) + C
C = 2
Opnås: f (x) = x3 - x + 2
Endnu ingen kommentarer