To begivenheder er uafhængige, når sandsynligheden for, at en af dem sker, ikke er påvirket af det faktum, at den anden sker - eller ikke sker - i betragtning af at disse begivenheder sker tilfældigt.
Denne omstændighed opstår, når den proces, der genererer resultatet af begivenhed 1, ikke på nogen måde ændrer sandsynligheden for de mulige resultater af begivenhed 2. Men hvis dette ikke sker, siges begivenhederne at være afhængige..
En uafhængig begivenhedssituation er som følger: Antag, at der rulles to terninger med seks sider, den ene blå og den anden lyserød. Sandsynligheden for, at en 1 ruller på den blå matrice er uafhængig af sandsynligheden for, at en 1 ruller - eller ikke ruller - på den lyserøde matrice..
Et andet tilfælde af to uafhængige begivenheder er at kaste en mønt to gange i træk. Resultatet af det første kast afhænger ikke af resultatet af det andet kast og omvendt.
Artikelindeks
For at kontrollere, at to begivenheder er uafhængige, definerer vi begrebet den betingede sandsynlighed for en begivenhed i forhold til en anden. Til dette er det nødvendigt at skelne mellem eksklusive begivenheder og inklusive begivenheder:
To begivenheder er eksklusive, hvis de mulige værdier eller elementer i begivenhed A ikke har noget til fælles med værdierne eller elementerne i begivenhed B..
Derfor er sæt i skæringspunktet mellem A og B i to eksklusive begivenheder vakuumet:
Eksklusive begivenheder: A∩B = Ø
Tværtimod, hvis begivenhederne inkluderer, kan det ske, at et resultat af begivenhed A også falder sammen med resultatet for en anden B, hvor A og B er forskellige begivenheder. I dette tilfælde:
Inkluderende begivenheder: A∩B ≠ Ø
Dette får os til at definere den betingede sandsynlighed for to inkluderende begivenheder, med andre ord sandsynligheden for forekomst af begivenhed A, når begivenhed B sker:
P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)
Derfor er den betingede sandsynlighed sandsynligheden for, at A vil forekomme og B divideret med sandsynligheden for, at B. vil forekomme. Sandsynligheden for, at B vil forekomme betinget af A, kan også defineres:
P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)
Dernæst giver vi tre kriterier for at vide, om to begivenheder er uafhængige. Det er nok, at en af de tre er opfyldt, så begivenhedernes uafhængighed demonstreres.
1.- Hvis sandsynligheden for, at A opstår, når B forekommer, er lig med sandsynligheden for A, så er de uafhængige begivenheder:
P (A¦B) = P (A) => A er uafhængig af B
2. - Hvis sandsynligheden for, at B forekommer givet A, er lig med sandsynligheden for B, så er der uafhængige begivenheder:
P (B¦A) = P (B) => B er uafhængig af A.
3.- Hvis sandsynligheden for, at A og B forekommer, er lig med produktet af sandsynligheden for, at A forekommer, og sandsynligheden for, at B opstår, så er de uafhængige begivenheder. Det omvendte er også sandt.
P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A og B er uafhængige begivenheder.
Gummisåler produceret af to forskellige leverandører sammenlignes. Prøverne fra hver producent underkastes flere tests, hvorfra det konkluderes, om de er inden for specifikationerne.
Den resulterende oversigt over de 252 prøver er som følger:
Producent 1; 160 opfylder ikke specifikationerne; 8 de ikke opfylder specifikationerne.
Producent 2; 80 opfylder specifikationerne; 4 opfylder ikke specifikationerne.
Begivenhed A: "at prøven er fra producent 1".
Begivenhed B: "at prøven opfylder specifikationerne".
Du vil vide, om disse begivenheder A og B er uafhængige eller ej, som vi anvender et af de tre kriterier, der er nævnt i forrige afsnit.
Kriterium: P (B¦A) = P (B) => B er uafhængig af A.
P (B) = 240/252 = 0,9523
P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0.9523
Konklusion: Begivenhederne A og B er uafhængige.
Antag en begivenhed C: "at prøven kommer fra producent 2"
Vil begivenhed B være uafhængig af begivenhed C?
Vi anvender et af kriterierne.
Kriterium: P (B¦C) = P (B) => B er uafhængig af C
P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)
Baseret på tilgængelige data er sandsynligheden for, at en tilfældigt valgt gummisål opfylder specifikationerne, derfor uafhængig af producenten..
Lad os se på følgende eksempel for at skelne mellem begivenheder afhængige og uafhængig.
Vi har en pose med to hvide chokoladekugler og to sorte chokoladekugler. Sandsynligheden for at trække en hvid eller en sort bold er lige ved første forsøg.
Antag, at resultatet var en kø. Hvis den trukkede kugle udskiftes i posen, gentages den oprindelige situation: to hvide kugler og to sorte kugler.
Så i en anden begivenhed eller uafgjort er chancerne for at tegne en kø eller en sort bold identiske med første gang. De er derfor uafhængige begivenheder.
Men hvis stødkuglen, der blev trukket i den første begivenhed, ikke udskiftes, fordi vi har spist den, er der i den anden trækning større chancer for at trække en sort bold. Sandsynligheden for, at der i en anden ekstraktion opnås hvidt igen, er forskellig fra den første begivenhed og er betinget af det foregående resultat.
I en kasse lægger vi de 10 kugler i figur 1, hvoraf 2 er grønne, 4 er blå og 4 er hvide. To kugler vælges tilfældigt, en først og en senere. Det beder om at finde
sandsynlighed for, at ingen af dem er blå under følgende forhold:
a) Ved udskiftning, dvs. returnering af den første marmor inden det andet valg til kassen. Angiv, om de er uafhængige eller afhængige begivenheder.
b) Uden erstatning på en sådan måde, at den første ekstraherede marmor bliver udeladt fra kassen, når du foretager det andet valg. Angiv ligeledes, om de er afhængige eller uafhængige begivenheder.
Vi beregner sandsynligheden for, at den første ekstraherede marmor ikke er blå, hvilket er 1 minus sandsynligheden for, at den er blå P (A) eller direkte, at den ikke er blå, fordi den kom grøn eller hvid ud:
P (A) = 4/10 = 2/5
P (vær ikke blå) = 1 - (2/5) = 3/5
O brønd:
P (grøn eller hvid) = 6/10 = 3/5.
Hvis den ekstraherede marmor returneres, er alt som før. I denne anden udvinding er der også en 3/5 sandsynlighed for, at den ekstraherede marmor ikke er blå.
P (ikke blå, ikke blå) = (3/5). (3/5) = 9/25.
Begivenhederne er uafhængige, da den ekstraherede marmor blev returneret til kassen, og den første begivenhed ikke påvirker sandsynligheden for forekomst af den anden.
For den første udvinding skal du fortsætte som i det foregående afsnit. Sandsynligheden for, at den ikke er blå, er 3/5.
Til den anden udtrækning har vi 9 kugler i posen, da den første ikke vendte tilbage, men den var ikke blå, derfor er der i posen 9 kugler og 5 ikke blå:
P (grøn eller hvid) = 5/9.
P (ingen er blå) = P (først ikke blå). P (anden ikke blå / første ikke blå) = (3/5). (5/9) = 1/3
I dette tilfælde er de ikke uafhængige begivenheder, da den første begivenhed betinger den anden..
En butik har 15 skjorter i tre størrelser: 3 små, 6 mellemstore og 6 store. 2 trøjer er tilfældigt valgt.
a) Hvad er sandsynligheden for, at begge valgte skjorter er små, hvis en tages først og uden at udskifte i batchen tages en anden?
b) Hvad er sandsynligheden for, at begge valgte skjorter er små, hvis en tegnes først, erstattes den i batchen, og den anden tegnes?
Her er to begivenheder:
Begivenhed A: den første valgte trøje er lille
Begivenhed B: den anden valgte trøje er lille
Sandsynligheden for begivenhed A er: P (A) = 3/15
Sandsynligheden for at begivenhed B opstår er: P (B) = 2/14, fordi en trøje allerede var fjernet (der er 14 tilbage), men derudover ønsker vi, at begivenhed A skal være opfyldt, den første trøje, der er fjernet, skal være lille og derfor så meget 2 små tilbage.
Det vil sige, at sandsynligheden for, at A og B vil være produktet af sandsynlighederne, er:
P (A og B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029
Derfor er sandsynligheden for, at begivenhed A og B sker, lig med det produkt, som begivenhed A indtræder, gange sandsynligheden for, at begivenhed B opstår, hvis begivenhed A opstod..
Det skal bemærkes, at:
P (B¦A) = 2/14
Sandsynligheden for, at begivenhed B opstår, uanset om begivenhed A finder sted, er:
P (B) = (2/14) hvis den første var lille, eller P (B) = 3/14 hvis den første ikke var lille.
Generelt kan følgende konkluderes:
P (B¦A) er ikke lig med P (B) => B er ikke uafhængig af A
Igen er der to begivenheder:
Begivenhed A: den første valgte trøje er lille
Begivenhed B: den anden valgte trøje er lille
P (A) = 3/15
Husk, at uanset resultatet, udskiftes trøjen fra batchen, og igen trækkes en trøje tilfældigt. Sandsynligheden for, at begivenhed B opstår, hvis begivenhed A opstod, er:
P (B¦A) = 3/15
Sandsynligheden for, at begivenhederne A og B opstår, vil være:
P (A og B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04
Noter det:
P (B¦A) er lig med P (B) => B er uafhængig af A.
Overvej to uafhængige begivenheder A og B. Det er kendt, at sandsynligheden for, at begivenhed A forekommer, er 0,2, og sandsynligheden for, at begivenhed B opstår, er 0,3. Hvad er sandsynligheden for, at begge begivenheder finder sted??
Ved at vide, at begivenhederne er uafhængige, er det kendt, at sandsynligheden for, at begge begivenheder opstår, er et produkt af de enkelte sandsynligheder. Nemlig,
P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06
Bemærk, at det er en sandsynlighed, der er langt mindre end sandsynligheden for, at hver begivenhed finder sted uanset resultatet af den anden. Eller sagt på en anden måde, meget lavere end de individuelle odds.
Endnu ingen kommentarer