Det homoteki Det er en geometrisk ændring i planet, hvor afstandene multipliceres med en fælles faktor startende fra et fast punkt kaldet centrum (O). På denne måde svarer hvert punkt P til et andet punkt P 'produkt af transformationen, og disse er justeret med punkt O.
Derefter handler homoteki om en korrespondance mellem to geometriske figurer, hvor de transformerede punkter kaldes homotetiske, og disse er justeret med et fast punkt og med segmenter parallelle med hinanden..
Artikelindeks
Homoteki er en transformation, der ikke har et kongruent billede, for fra en figur opnås en eller flere figurer af større eller mindre størrelse end den oprindelige figur; homoteky omdanner en polygon til en anden lignende.
For at homotekien skal være opfyldt, skal punkt til punkt og linje til linje svare, så parrene af homologe punkter er justeret med et tredje fast punkt, som er centrum for homøtheten.
Ligeledes skal de par af linjer, der forbinder dem, være parallelle. Forholdet mellem sådanne segmenter er en konstant kaldet homothecy ratio (k); på en sådan måde, at homoteki kan defineres som:
For at udføre denne type transformation begynder vi med at vælge et vilkårligt punkt, der vil være centrum for homoteket.
Fra dette punkt tegnes linjesegmenter for hvert toppunkt i figuren, der skal transformeres. Skalaen, hvor reproduktionen af den nye figur er lavet, er givet ved forholdet mellem homoteky (k).
En af de vigtigste egenskaber ved homoteki er, at af den homotiske grund (k) er alle homotetiske figurer ens. Andre bemærkelsesværdige egenskaber inkluderer følgende:
- Homoteciens centrum (O) er det eneste dobbeltpunkt, og det bliver sig selv; det vil sige, det varierer ikke.
- Linjerne, der passerer gennem midten, omdannes til sig selv (de er dobbelt), men de punkter, der komponerer det, er ikke dobbelt.
- Linjerne, der ikke passerer gennem midten, bliver parallelle linjer; på denne måde forbliver homothecy-vinklerne de samme.
- Billedet af et segment ved en homoteki af centrum O og forholdet k er et segment parallelt med dette og har k gange dets længde. For eksempel, som det kan ses i det følgende billede, vil et segment AB efter homotecy resultere i et andet segment A'B 'på en sådan måde, at AB vil være parallel med A'B' og k vil være:
- Homotetiske vinkler er kongruente; det vil sige, de har samme mål. Derfor er billedet af en vinkel en vinkel, der har samme amplitude.
På den anden side varierer homoteky afhængigt af værdien af dets forhold (k), og følgende tilfælde kan forekomme:
- Hvis konstanten k = 1, er alle punkter faste, fordi de transformerer sig selv. Således falder den homotetiske figur sammen med den oprindelige, og transformationen kaldes identitetsfunktionen.
- Hvis k ≠ 1, vil det eneste faste punkt være midten af homotetikken (O).
- Hvis k = -1, bliver homotekien en central symmetri (C); det vil sige en rotation vil ske omkring C i en vinkel på 180eller.
- Hvis k> 1, vil størrelsen på den transformerede figur være større end originalens størrelse.
- Ja 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.
- Ja -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.
- Hvis k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.
Homothecy kan også klassificeres i to typer afhængigt af værdien af dets forhold (k):
Det sker, hvis konstanten k> 0; det vil sige, at de homotiske punkter er på samme side med hensyn til centrum:
Proportionalitetsfaktoren eller lighedsforholdet mellem de direkte homotetiske tal vil altid være positiv.
Det sker, hvis konstanten k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:
Proportionalitetsfaktoren eller lighedsforholdet mellem de inverse homotetiske tal vil altid være negativ.
Når flere bevægelser successivt udføres, indtil der opnås en figur svarende til originalen, opstår der en sammensætning af bevægelser. Sammensætningen af flere bevægelser er også en bevægelse.
Sammensætningen mellem to homotekier resulterer i en ny homoteki; der er et produkt af homotetier, hvor centret vil blive justeret med midten af de to originale transformationer, og forholdet (k) er produktet af de to forhold.
Således i sammensætningen af to homotekier H1(ELLER1, k1) og Hto(ELLERto, kto), multiplikationen af deres forhold: k1 x kto = 1 vil resultere i en homoteky i forholdet k3 = K1 x kto. I centrum for denne nye homoteki (O3) vil være placeret på linjen O1 ELLERto.
Homothecia svarer til en flad og irreversibel ændring; hvis der anvendes to homotetier, der har samme center og forhold, men med et andet tegn, opnås den originale figur.
Anvend en homoteki på den givne polygon med centrum (O), der ligger 5 cm fra punkt A, og hvis forhold er k = 0,7.
Ethvert punkt vælges som centrum for homoteket, og fra dette tidspunkt trækkes stråler gennem figurens hjørner:
Vi har, at afstanden fra centrum (O) til punkt A er OA = 5; Med dette kan afstanden til et af de homotiske punkter (OA ') bestemmes, idet man også ved, at k = 0,7:
OA '= k x OA.
OA '= 0,7 x 5 = 3,5.
Processen kan udføres for hvert toppunkt, eller den homotetiske polygon kan også tegnes, idet man husker, at de to polygoner har parallelle sider:
Endelig ser transformationen sådan ud:
Anvend en homoteki på den givne polygon med centrum (O), der ligger 8,5 cm fra punkt C, og hvis y-forhold k = -2.
Afstanden fra centrum (O) til punkt C er OC = 8,5; Med disse data er det muligt at bestemme afstanden for et af de homotiske punkter (OC '), idet man også ved, at k = -2:
OC '= k x OC.
OC '= -2 x 8,5 = -17
Efter at have tegnet segmenterne af hjørnerne af den transformerede polygon, er de oprindelige punkter og deres homotetik placeret i de modsatte ender i forhold til centrum:
Endnu ingen kommentarer