Det boolsk algebra o Boolsk algebra er den algebraiske notation, der bruges til behandling af binære variabler. Den dækker studier af enhver variabel, der kun har 2 mulige resultater, komplementære og gensidigt eksklusive. F.eks. Er variabler, hvis eneste mulighed er sand eller falsk, korrekt eller forkert, til eller fra, grundlaget for studiet af boolsk algebra..
Boolsk algebra udgør grundlaget for digital elektronik, hvilket gør den ganske til stede i dag. Det styres af begrebet logiske porte, hvor de operationer, der er kendt i traditionel algebra, især påvirkes.
Artikelindeks
Boolsk algebra blev introduceret i 1854 af den engelske matematiker George Boole (1815 - 1864), som var en selvlært lærd af tiden. Hans bekymring opstod fra en eksisterende tvist mellem Augustus De Morgan og William Hamilton om de parametre, der definerer dette logiske system.
George Boole hævdede, at definitionen af de numeriske værdier 0 og 1 svarer inden for logik til fortolkningen Intet og univers henholdsvis.
George Booles hensigt var gennem algebraens egenskaber at definere de udtryk for propositionelogik, der var nødvendige for at håndtere variabler af binær type.
I 1854 blev de mest betydningsfulde dele af boolsk algebra offentliggjort i bogen “En undersøgelse af tankeloven, som de matematiske teorier om logik og sandsynlighed er baseret på ".
Denne nysgerrige titel ville blive sammenfattet senere som “Tankens love ”. Titlen steg til berømmelse på grund af den øjeblikkelige opmærksomhed, den fik fra det matematiske samfund af tiden..
I 1948 anvendte Claude Shannon det på designet af bistabile elektriske koblingskredsløb. Dette tjente som en introduktion til anvendelsen af boolsk algebra inden for hele den elektronisk-digitale ordning..
De elementære værdier i denne type algebra er 0 og 1, hvilket svarer til henholdsvis FALSE og TRUE. De grundlæggende operationer i boolsk algebra er 3:
- OG betjening eller sammenhæng. Repræsenteret af en periode (.). Produktsynonym.
- ELLER drift eller adskillelse. Repræsenteret ved et kryds (+). Synonym for summen.
- IKKE drift eller negation. Repræsenteret med præfikset IKKE (IKKE A). Også kendt som et supplement.
Hvis der i et sæt A2 defineres love med intern sammensætning betegnet som produkt og sum (. +), Siges tripplen (A. +) at være en boolsk algebra, hvis og kun hvis den tredobbelte opfylder betingelsen om at være en gitterfordelende.
For at definere et distribuerende gitter skal fordelingsbetingelserne være opfyldt mellem de givne operationer:
. er fordelende med hensyn til summen + til . (b + c) = (a. b) + (a. c)
+ er distribuerende med hensyn til produktet. a + (b. c) = (a + b). (a + c)
Elementerne, der udgør sættet A, skal være binære og dermed have værdier på univers eller ugyldigt.
Dets vigtigste applikationsscenarie er den digitale gren, hvor den tjener til at strukturere de kredsløb, der udgør de involverede logiske operationer. Kunsten med kredsløbets enkelhed for at optimere processer er resultatet af den korrekte anvendelse og praksis af boolsk algebra..
Fra udarbejdelsen af elektriske paneler, der går igennem transmission af data til programmering på forskellige sprog, kan vi ofte finde boolsk algebra i alle mulige digitale applikationer..
Boolske variabler er meget almindelige i programmeringsstrukturen. Afhængigt af det anvendte programmeringssprog vil der være strukturelle operationer i koden, der bruger disse variabler. Betingelserne og argumenterne for hvert sprog tillader boolske variabler til at definere processerne.
Der er sætninger, der styrer de strukturelle logiske love i boolsk algebra. På samme måde er der postulater til at kende de mulige resultater i forskellige kombinationer af binære variabler afhængigt af den udførte operation..
Operatøren ELLER hvis logiske element er unionen (U) er defineret for binære variabler som følger:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
Operatøren OG hvis logiske element er skæringspunktet (∩) er defineret for binære variabler som følger:
0. 0 = 0
0. 1 = 0
1. 0 = 0
1. 1 = 1
Operatøren IKKE hvis logiske element er komplementet (X) 'defineres for binære variabler som følger:
IKKE 0 = 1
IKKE 1 = 0
Mange af postulaterne adskiller sig fra deres kolleger i konventionel algebra. Dette skyldes variablenes domæne. For eksempel kan tilføjelse af universelementer i boolsk algebra (1 + 1) ikke give det konventionelle resultat af 2, fordi det ikke hører til elementerne i det binære sæt.
Enhver simpel operation, der involverer et element med de binære variabler, er defineret:
0 + A = A
1 + A = 1
0. A = 0
1. A = A
Operationer mellem lige store variabler defineres som:
A + A = A
TIL . A = A
Enhver operation mellem en variabel og dens komplement er defineret som:
A + IKKE A = 1
TIL . IKKE A = 0
Enhver dobbelt negation vil blive betragtet som den naturlige variabel.
IKKE (IKKE A) = A
A + B = B + A; Kommutativitet af summen.
TIL . B = B. TIL ; Produktkommutativitet.
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Associativitet af summen.
TIL . (B. C) = (A. B). C = A. B. C; Produktassociativitet.
A + (B. C) = (A + B). (A + C); Fordeling af summen i forhold til produktet.
TIL . (B + C) = (A. B) + (A + C); Distributivitet af produktet i forhold til summen.
Der er mange absorptionslove blandt flere referencer, nogle af de bedst kendte er:
TIL . (A + B) = A
TIL . (IKKE A + B) = A. B
IKKE A (A + B) = IKKE A. B
(A + B). (A + IKKE B) = A
A + A. B = A
A + IKKE A. B = A + B
IKKE A + A. B = IKKE A + B
TIL . B + A. IKKE B = A
De er transformationslove, der håndterer par variabler, der interagerer mellem de definerede operationer i boolsk algebra (+.).
IKKE (A. B) = IKKE A + IKKE B
IKKE (A + B) = IKKE A. IKKE B
A + B = IKKE (IKKE A + IKKE B)
TIL . B = IKKE (IKKE A. IKKE B)
Alle postulater og sætninger har fakultetet for dualitet. Dette indebærer, at ved at udveksle variabler og operationer bekræftes den resulterende proposition. Det vil sige, når man udveksler 0 for 1 og AND for OR eller omvendt; der oprettes et udtryk, der også vil være helt gyldigt.
For eksempel, hvis du tager postulatet
1. 0 = 0
Og dualitet anvendes
0 + 1 = 1
Et andet perfekt gyldigt postulat opnås.
Karnaugh-kortet er et diagram, der bruges i boolsk algebra for at forenkle logiske funktioner. Den består af et todimensionalt arrangement svarende til sandhedstabellerne i propositionelogik. Dataene fra sandhedstabellerne kan fanges direkte på Karnaugh-kortet.
Karnaugh-kortet kan rumme processer med op til 6 variabler. For funktioner med et større antal variabler anbefales det at bruge software til at forenkle processen.
Foreslået i 1953 af Maurice Karnaugh, blev det etableret som et fast værktøj inden for boolsk algebra, fordi dets implementering synkroniserer det menneskelige potentiale med behovet for at forenkle boolske udtryk, et nøgleaspekt i fluiditeten i digitale processer..
Boolsk algebra bruges til at reducere logiske porte i et kredsløb, hvor prioriteten er at bringe kredsløbets kompleksitet eller niveau til sit lavest mulige udtryk. Dette skyldes den beregningsforsinkelse, som hver port antager.
I det følgende eksempel vil vi observere forenklingen af et logisk udtryk til dets minimale udtryk ved hjælp af sætninger og postulater fra boolsk algebra.
IKKE (AB + A + B). IKKE (A + IKKE B)
IKKE [A (B + 1) + B]. IKKE (A + IKKE B); Faktoring A med en fælles faktor.
IKKE [A (1) + B]. IKKE (A + IKKE B); Efter sætning A + 1 = 1.
IKKE (A + B). IKKE (A + IKKE B); af sætning A. 1 = A
(IKKE A. IKKE B). [ BEMÆRK . IKKE (IKKE B)];
Efter Morgan's sætning IKKE (A + B) = IKKE A. IKKE B
(IKKE A. IKKE B). (IKKE A. B); Ved dobbelt negation sætning IKKE (IKKE A) = A
BEMÆRK . IKKE B. BEMÆRK . B; Algebraisk gruppering.
BEMÆRK . BEMÆRK . IKKE B. B; Kommutativitet for produkt A. B = B. TIL
BEMÆRK . IKKE B. B; Af sætning A. A = A
BEMÆRK . 0; Af sætning A. IKKE A = 0
0; Af sætning A. 0 = 0
TIL . B. C + IKKE A + A. IKKE B. C
TIL . C. (B + IKKE B) + IKKE A; Factoring (A.C) med fælles faktor.
TIL . C. (1) + IKKE A; Efter sætning A + IKKE A = 1
TIL . C + IKKE A; Ved regel om nul sætning og enhed 1. A = A
IKKE A + C ; I henhold til lov fra Morgan A + IKKE A. B = A + B
Til denne løsning skal Morgan's lov udvides til at definere:
IKKE (IKKE A). C + IKKE A = IKKE A + C
Fordi IKKE (IKKE A) = A ved involution.
BEMÆRK . IKKE B. IKKE C + IKKE A. IKKE B. C + IKKE A. IKKE C til dets mindste udtryk
BEMÆRK . IKKE B. (IKKE C + C) + IKKE A. IKKE C; Factoring (IKKE A. IKKE B) med fælles faktor
BEMÆRK . IKKE B. (1) + IKKE A. IKKE C; Efter sætning A + IKKE A = 1
(IKKE A. IKKE B) + (IKKE A. IKKE C); Ved regel om nul sætning og enhed 1. A = A
IKKE A (IKKE B + IKKE C); Factoring IKKE A med en fælles faktor
BEMÆRK . IKKE (B. C); Ved Morgan-love IKKE (A. B) = IKKE A + IKKE B
IKKE [A + (B. C)] Ved Morgan-love IKKE (A. B) = IKKE A + IKKE B
Enhver af de 4 indstillinger med fed skrift repræsenterer en mulig løsning til at reducere kredsløbets niveau
(A. IKKE B. C + A. IKKE B. B. D + IKKE A. IKKE B). C
(A. IKKE B. C + A. 0. D + IKKE A. IKKE B). C; Af sætning A. IKKE A = 0
(A. IKKE B. C + 0 + IKKE A. IKKE B). C; Af sætning A. 0 = 0
(A. IKKE B. C + IKKE A. IKKE B). C; Efter sætning A + 0 = A.
TIL . IKKE B. C. C + IKKE A. IKKE B. C; Ved produktets distribution med hensyn til summen
TIL . IKKE B. C + IKKE A. IKKE B. C; Af sætning A. A = A
IKKE B. C (A + IKKE A) ; Factoring (IKKE B. C) med fælles faktor
IKKE B. C (1); Efter sætning A + IKKE A = 1
IKKE B. C; Ved regel om nul sætning og enhed 1. A = A
Endnu ingen kommentarer