Det venlige eller venlige tal er to naturlige tal a og b, hvis sum af delere af en af dem (ikke inklusive antallet) er lig med det andet tal, og summen af delere af denne anden (ikke inklusive det heller) er lig med det første tal.
Der er fundet mange numrepar, der deler denne nysgerrige egenskab. De er ikke for små, de mindste er 220 og 284, der blev opdaget for flere århundreder siden. Så lad os sætte dem som et eksempel på, hvad dette ejendommelige venskab mellem tal betyder..
Delerne på 220, inklusive 220, er: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 og 110. For deres del er delene på 284, ikke inklusive 284: 1, 2 , 4, 71 og 142.
Nu tilføjer vi delere af det første tal, som er 220:
D1 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Vi bemærker, at summen faktisk er 284, det venlige tal.
Derefter tilføjes delerne på 284:
Dto = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Og du får det første medlem af parret.
De gamle græske matematikere fra Pythagoras-skolen, grundlagt af Pythagoras (569-475 f.Kr.), forfatteren af den berømte sætning med samme navn, formåede at opdage dette ejendommelige forhold mellem disse to tal, som de tilskrev mange mystiske kvaliteter..
De var også kendt for de islamiske matematikere i middelalderen, som formåede at bestemme en generel formel for at finde venlige tal omkring år 850 e.Kr..
Artikelindeks
Den islamiske matematiker Thabit Ibn Qurra (826-901) fandt en måde at generere nogle venlige tal på. Sean s, hvad Y r tre primtal, det vil sige tal, der kun tillader 1 og sig selv som delere.
Når følgende er opfyldt:
p = 3,2n-1 - 1
q = 3,2n - 1
r = 9,22n-1 - 1
Med n et tal større end 1, derefter:
a = 2npq og b = 2nr
De udgør et par venlige tal. Lad os teste formlen for n = 2 og se, hvilket par venlige tal det genererer:
p = 3,22-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5
q = 3,2to - 1 = 11
r = 9,22.2-1 - 1 = 71
Derefter:
a = 2npq = 2to. 5. 11 = 220
b = 2nr = 2to. 71 = 284
Den middelalderlige matematikers formel fungerer for n = 2, da det netop er de første venlige tal, som man talte om i starten, og som allerede var kendt i middelalderen..
Teoremet fungerer dog ikke for alle hidtil fundet venlige tal, kun for n = 2, n = 4 og n = 7.
Århundreder senere afledte den schweiziske matematiker Leonhard Euler (1707-1783) en ny regel for at finde venlige tal, baseret på Thabit Ibn Qurra:
p = (2n-m + 1). tom - 1
q = (2n-m + 1). ton - 1
r = (2n-m + 1)to. tom + n - 1
Som altid er tallene p, q og r primtal, men nu er der to heltal eksponenter: m og n, hvoraf m skal opfylde følgende betingelse:
1 ≤ m ≤ n-1
Paret af venlige tal er dannet på samme måde:
a = 2npq
b = 2nr
Hvis m = n-1, opnås Thabit-sætningen igen, men som med den islamiske matematikers sætning opfylder ikke alle venlige tal Eulers regel. Men med det steg antallet af kendte venlige numre indtil da..
Her er de første par eksponenter (m, n), som du kan finde nogle venlige tal med:
(1,2), (3,4), (6,7), (1,8) og (29,40)
Senere i øvelsesafsnittet finder vi det par venlige tal, der dannes takket være eksponenterne (3,4) af Eulers styre.
-220 og 284
-1184 og 1210
-2620 og 2924
-5020 og 5564
-6232 og 6368
-10.744 og 10.856
-12.285 og 14.595
-17.296 og 18.416
Selvfølgelig kan du generere mange flere par venlige numre via computer.
Vi skal nu se, hvordan vi finder skillelinjerne for et nummer, for at kontrollere, om de er venner. I henhold til definitionen af venlige tal er det nødvendigt med alle delere for hver deltager for at være i stand til at tilføje dem, undtagen tallene selv.
Nu kan naturlige tal opdeles i to grupper: primtal og sammensatte tal..
Primtal tillader kun 1 og sig selv som nøjagtige skillevægge. Og de sammensatte tal fra deres side kan altid udtrykkes som produktet af primtal og har andre skillevægge bortset fra 1 og sig selv..
Ethvert sammensat tal N, såsom 220 eller 284, kan udtrykkes på denne måde:
N = an . bm. cs... rk
Hvor a, b, c ... r er primtal og n, m, p ... k er eksponenter, der hører til de naturlige tal, som kan være fra 1 og fremefter.
Med hensyn til disse eksponenter er der en formel til at vide, hvor mange (men ikke hvilke) skillevægge antallet N. har. Lad C være denne størrelse:
C = (n +1) (m + 1) (p +1) ... (k + 1)
Når tallet N udtrykkes i form af produkter med primtal, og det vides, hvor mange delere det har, har vi allerede værktøjerne til at vide, hvad dets delere er, både primære og ikke-primære. Og det er, at du har brug for at kende dem alle for at kontrollere, om de er venner, undtagen den sidste, hvilket er selve nummeret.
Find alle skillevægge i parret med venlige numre 220 og 284.
Lad os først finde hoveddelerne på 220, som er et sammensat tal:
220 │2
110 │2
55 │5
11-11
1 │
Primfaktoriseringen på 220 er:
220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2to.5. 11
Derfor er n = 2, m = 1, p = 1 og har:
C = (2 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 12 skillevægge
De første skillevægge, der bemærkes, når antallet nedbrydes, er: 1, to, 4, 5 Y elleve. Og det er de også 110 Y 55.
De ville mangle 5 af dem, der fremstiller produkter mellem fætrene og deres kombinationer: 2to.5 = tyve; toto.11 = 44; 2. 11 = 22 og endelig 1 og hans egen 220.
En analog procedure følges i 284:
284 │2
142 │2
71-71
1 │
284 = 2to. 71
C = (2 + 1). (1 + 1) = 3 x 2 = 6 skillevægge
Disse skillevægge er: 1, 2, 4, 71, 142 og 284, som sagt i begyndelsen.
Kontrol af Eulers formel for n = 4 og m = 3 genererer tredobbelt af primtal (p, q, r) = (23,47, 1151). Hvad er det par venlige tal dannet med dem?
Primtalene p, q og r beregnes af:
p = (2n-m + 1). tom - 1
q = (2n-m + 1). ton - 1
r = (2n-m + 1)to. tom + n - 1
Ved at erstatte værdierne af m = 3 og n = 4 får vi:
p = (24-3 + 1). to3 - 1 = 23
q = (24-3 + 1). to4 - 1 = 47
r = (24-3 + 1)to. to4 + 3 - 1 = 1151
Nu anvender vi formlen for at finde parvenlige tal a og b:
a = 2npq
b = 2nr
a = 2npq = 16. 23. 47 = 17.296
b = 2nr = 16. 1151 = 18.416
Og de er faktisk blandt listen over de første par venlige numre, som vi viste tidligere.
Endnu ingen kommentarer