Cirkulære permutations demonstration, eksempler, løste øvelser

Det cirkulære permutationer de er forskellige typer grupperinger af alle elementerne i et sæt, når disse skal arrangeres i cirkler. I denne type permutation betyder ordren, og elementerne gentages ikke.

Antag for eksempel, at du vil vide antallet af forskellige arrays af cifrene en til fire og placere hvert nummer på en af ​​hjørnerne i en rombe. Disse ville være i alt 6 arrangementer:

Det bør ikke forveksles, at nummer et er i rombens øverste position i alle tilfælde som en fast position. Cirkulære permutationer ændres ikke af arrayets rotation. Følgende er en enkelt eller samme permutation:

Artikelindeks

• 1 Demonstration og formler
• 2 Eksempler
  • 2.1 Eksempel 1
  • 2.2 Eksempel 2
• 3 Løst øvelser
  • 3.1 - Øvelse 1
  • 3.2 - Øvelse 2
• 4 Referencer

Demo og formler

I eksemplet med de forskellige 4-cifrede cirkulære arrays placeret ved hjørnerne af en rombe kan antallet af arrays (6) findes således:

1- Ethvert af de fire cifre tages som udgangspunkt ved en af ​​hjørnerne og går videre til det næste toppunkt. (det betyder ikke noget, om det drejes med eller mod uret)

2- Der er 3 muligheder tilbage for at vælge det andet toppunkt, så er der 2 muligheder for at vælge det tredje toppunkt, og der er selvfølgelig kun en valgmulighed tilbage for det fjerde toppunkt.

3- Således opnås antallet af cirkulære permutationer, betegnet med (4 - 1) P (4 - 1), ved hjælp af produktet af valgmulighederne i hver position:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 forskellige 4-cifrede cirkulære arrays.

Generelt er antallet af cirkulære permutationer, der kan opnås med alle n-elementerne i et sæt:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (N - 1) (n - 2)… (2) (1)

Bemærk, at (n - 1)! er kendt som n faktor og forkorter produktet af alle tal fra nummeret (n - 1) til nummer et, begge inkluderet.

Eksempler

Eksempel 1

Hvor mange forskellige måder skal 6 personer sidde ved et cirkulært bord??

Du vil finde antallet af forskellige måder, hvorpå 6 personer kan sidde rundt om et rundt bord.

Antal måder at sidde på ((6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Antal måder at sidde på = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 forskellige måder

Eksempel 2

Hvor mange forskellige måder har 5 personer for at lokalisere sig ved hjørnerne i en femkant??

Antallet af måder, hvorpå 5 personer kan placeres i hver af hjørnerne i en femkant, søges.

Antal måder at lokalisere sig på = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

Antallet af måder, der skal placeres = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 forskellige måder

Løst øvelser

- Øvelse 1

En guldsmed anskaffer 12 forskellige ædelstene for at placere dem i de tidspunkter på et ur, som han forbereder på vegne af kongehuset i et europæisk land.

a) Hvor mange forskellige måder har hun for at arrangere stenene på uret?

b) Hvor mange forskellige former har den, hvis stenen, der går til klokken 12, er unik?

c) Hvor mange forskellige former, hvis klokken 12 er unik og stenene til de andre tre kardinalpunkter, klokken 3, 6 og 9; der er tre bestemte sten, som kan udveksles, og resten af ​​timerne tildeles fra resten af ​​stenene?

Løsninger

a) Der kræves antallet af måder at bestille alle stenene på urets omkreds på; antallet af cirkulære arrangementer, der involverer alle tilgængelige sten.

Antal arrangementer i uret = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Antal rettelser på uret = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antal arrangementer på uret = 39976800 forskellige former

b) Han undrer sig over, hvor mange forskellige måder at bestille på, idet han ved, at klippen fra klokken 12 er unik og fast; antallet af cirkulære arrangementer, der involverer de resterende 11 sten.

Antal arrangementer i uret = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Antal rettelser på uret = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antal arrangementer på uret = 3.628.800 forskellige former

c) Endelig søges antallet af måder at bestille alle stenene på, bortset fra kl. 12, som er fastgjort, 3, 6 og 9 sten, der har 3 sten, der skal tildeles blandt dem; det vil sige 3! arrangementsmuligheder og antallet af cirkulære arrangementer, der involverer de resterende 8 sten.

Antal arrangementer i uret = 3! * [(8-1) P (8-1)] = 3! * (8-1)!

Antal arrangementer i uret = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Antal arrangementer på uret = 241920 forskellige former

- Øvelse 2

Styringsgruppen for et selskab består af 8 medlemmer, og de mødes ved et ovalt bord.

a) Hvor mange forskellige former for arrangement omkring bordet har udvalget??

b) Antag, at formanden sidder ved bordets spids i ethvert udvalgsarrangement, hvor mange forskellige arrangementer har resten af ​​udvalget??

Antag, at vicepræsidenten og sekretæren sidder på præsidentens sider i ethvert arrangement af udvalget.?

Løsninger

a) Vi vil finde antallet af forskellige måder at bestille de 12 medlemmer af udvalget omkring det ovale bord.

Antal komitéarrangementer = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Antal udvalgsordninger = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antal komitéarrangementer = 39976800 forskellige former

b) Da udvalgets formand er placeret i en fast position, søges antallet af måder at bestille de resterende 11 komitémedlemmer rundt om det ovale bord.

Antal komitéarrangementer = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Antal udvalgsordninger = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antal komitéarrangementer = 3.628.800 forskellige former

c) Præsidenten er placeret i en fast position, og til siderne er vicepræsidenten og sekretæren med to muligheder for arrangement: vicepræsident til højre og sekretær til venstre eller vicepræsident til venstre og sekretær til højre. Derefter vil du finde antallet af forskellige måder at bestille de 9 resterende medlemmer af udvalget omkring det ovale bord og gang med de 2 former for arrangementer, som vicepræsidenten og sekretæren har..

Antal komitéarrangementer = 2 * [(9-1) P (9-1)] = 2 * [(9-1)!]

Antal udvalgsordninger = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Antal komitéarrangementer = 80640 forskellige former

Referencer

1. Boada, A. (2017). Brug af permutation med gentagelse som undervisning i eksperimenter. Vivat Academia Magazine. Gendannet fra researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Sandsynlighed og statistik. Anvendelser og metoder. McGraw-Hill / Interamericana de México S. A. de C. V.
3. Glas, G.; Stanley, J. (1996). Statistiske metoder, der ikke anvendes på samfundsvidenskaben. Prentice Hall Hispanoamericana S. A.
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistikker. Fjerde udgave McGraw-Hill / Interamericana de México S. A.
5. Walpole, R.; Myers, R. Myers, S.; Ye, Ka. (2007). Sandsynlighed og statistik for ingeniører og forskere. 8. udgave. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistikker anvendt på erhvervslivet og økonomien. Tredje udgave McGraw-Hill / Interamericana S. A.
7. Wikipedia. (2019). Permutation. Gendannet fra en.wikipedia.org.