Det Fourier-transformation er en metode til analytisk tilstrækkelighed orienteret om integrerbare funktioner, der hører til familien af tintegreret transformeret. Den består af en omdefinering af funktioner F (t) med hensyn til Cos (t) og Sen (t).
De trigonometriske identiteter af disse funktioner sammen med deres aflednings- og antideriveringsegenskaber tjener til at definere Fourier-transformationen gennem følgende komplekse funktion:
Hvilket er sandt, så længe udtrykket giver mening, det vil sige når det ukorrekte integral er konvergent. Algebraisk siges Fourier-transformationen at være en lineær homeomorfisme.
Hver funktion, der kan arbejdes med en Fourier-transformation, skal præsentere null uden for en defineret parameter.
Artikelindeks
Fourier-transformen opfylder følgende egenskaber:
At verificere eksistensen af Fouriertransformationen i en funktion f (t) defineret i realerne R, følgende 2 aksiomer skal være opfyldt:
Lad M (t) og N (t) være to funktioner med bestemte Fourier-transformationer, med alle konstanter a og b.
F [a M (t) + b N (t)] (z) = a F [M (t)] (z) + b F [N (t)] (z)
Hvilket også understøttes af lineariteten af integralen med samme navn.
Det har en funktion F som er kontinuerlig og integrerbar i alle realiteter, hvor:
Og afledte af f (f ') er kontinuerlig og defineret stykkevis igennem R
Fourier-transformationen af et derivat defineres ved integration af dele ved følgende udtryk:
F [f '(t)] (z) = izF [f (t)] (z)
I afledninger af højere orden vil den blive anvendt på en homolog måde, hvor vi for alle n 1 har:
F [f n'(t)] (z) = (iz)nF [f (t)] (z)
Det har en funktion F som er kontinuerlig og integrerbar i alle realiteter, hvor:
i (d / dz)F [f (t)] (z) = F [t. f (t)] (z)
For alle θ som hører til et sæt S og T som hører til sættet S ', har vi:
F [ τtil θ] = og-iay F [ θ] F [ τtilT ] = og-iax F [ T]
Med τtil arbejder som oversættelsesoperatør på vektoren a.
For alle θ som hører til et sæt S og T som hører til sættet S ', har vi:
τtil F [θ] = F [og-iax.θ] τtil F [T ] = F [og-iay . T]
For alle til som hører til R
For alle θ som hører til et sæt S. T som hører til sættet S '
λ tilhører R - 0 du skal:
F [θ (λx)] = (1 / | λ |) F [θ] (Y /λ)
F [T (λx)] = (1 / | λ |) F [T] (y / λ)
Ja F er en kontinuerlig og tydeligt integrerbar funktion, hvor a> 0. Derefter:
F [f (at)] (z) = (1 / a) F [f (t)] (z / a)
For at demonstrere dette resultat kan vi fortsætte med ændringen af variablen.
Når T → + så er s = ved → + ∞
Når T → - så er s = ved → - ∞
For at studere symmetrien af Fourier-transformationen skal identiteten af Parseval og Plancherel-formlen verificeres.
Vi har θ og δ, der hører til S. Derfra kan det udledes, at:
Kom
1 / (2π)d F [θ ], F [δ] Parsevals identitet
1 / (2π)d / 2 || F [θ ] ||LtoRd Plancherel formel
Ved at forfølge lignende mål som i Laplace-transformen henviser sammensmeltning af funktioner til produktet mellem deres Fourier-transformationer.
Vi har f og g som 2 afgrænsede, bestemte og fuldstændigt integrerbare funktioner:
F (f * g) = F (f). F (g)
Derefter når du ændrer variablen
t + s = x; det fortsætter med den forkerte dobbelte integral
F (f). F (g) = F (f. G)
For alle θ som hører til R, F [ θ] overholder kriterierne for en kontinuerlig funktion afgrænset i Rd.
Også F [ θ] (y) → 0 i C, hvis | y | → ∞
Dette matematiske koncept blev præsenteret af Joseph B. Fourier i 1811, mens han udviklede en afhandling om varmespredning. Det blev hurtigt vedtaget af forskellige grene inden for videnskab og teknik.
Det blev etableret som det vigtigste arbejdsredskab i studiet af ligninger med delvise derivater, endda sammenlignet med det eksisterende arbejdsforhold mellem Laplace-transformation og almindelige differentialligninger.
Det tjener primært til at forenkle ligninger betydeligt, samtidig med at afledte udtryk omdannes til magtelementer, hvilket betegner differentielle udtryk i form af integrerbare polynomer..
I optimering, modulering og modellering af resultater fungerer det som et standardiseret udtryk og er en hyppig ressource til teknik efter flere generationer.
De er serier defineret i form af Cosines og Sines; De tjener til at lette arbejdet med generelle periodiske funktioner. Når de anvendes, er de en del af teknikkerne til løsning af almindelige og delvise differentialligninger..
Fourier-serien er endnu mere generel end Taylor-serien, fordi de udvikler periodiske diskontinuerlige funktioner, der ikke har en Taylor-serierepræsentation..
For at forstå Fourier-transformationen analytisk er det vigtigt at gennemgå de andre måder, hvorpå Fourier-serien kan findes, indtil vi kan definere Fourier-serien i dens komplekse notation.
Mange gange er det nødvendigt at tilpasse strukturen i en Fourier-serie til periodiske funktioner, hvis periode er p = 2L> 0 i intervallet [-L, L].
Intervallet [-π, π] betragtes, hvilket giver fordele, når man udnytter funktionernes symmetriske egenskaber.
Hvis f er jævn, etableres Fourier-serien som en serie Cosines.
Hvis f er ulige, etableres Fourier-serien som en serie af Sines.
Hvis vi har en funktion f (t), der opfylder alle udviklingsbarhedskravene i Fourier-serien, er det muligt at angive den i intervallet [-t, t] ved hjælp af dens komplekse notation:
Fouriertransformationen er et kraftfuldt værktøj til undersøgelse af delvise differentialligninger af den lineære type med konstante koefficienter. De gælder ligeledes for funktioner med ubegrænsede domæner.
Ligesom Laplace-transformationen forvandler Fourier-transformationen en delvis afledt funktion til en almindelig differentialligning, der er meget lettere at betjene..
Cauchy-problemet for varmeligningen præsenterer et felt med hyppig anvendelse af Fourier-transformen, hvor funktionen genereres varmekerne eller Dirichlet-kerne.
Med hensyn til beregningen af den grundlæggende løsning præsenteres følgende tilfælde, hvor det er almindeligt at finde Fourier-transformationen:
-Laplace ligning
-Varmeligning
-Schrödinger ligning
-Bølge ligning
Den generelle årsag til anvendelsen af Fourier-transformen i denne gren skyldes hovedsageligt den karakteristiske nedbrydning af et signal som en uendelig superposition af lettere behandlingsbare signaler.
Det kan være en lydbølge eller en elektromagnetisk bølge, Fourier-transformationen udtrykker den i en superposition af enkle bølger. Denne repræsentation er ret hyppig inden for elektroteknik.
På den anden side er der eksempler på anvendelse af Fourier-transform inden for signalteori:
-Problemer med systemidentifikation. Etableret f og g
-Problem med udgangssignalkonsistens
-Problemer med signalfiltrering
Definer Fourier-transformationen til følgende udtryk:
Vi kan også repræsentere det på følgende måde:
F (t) = Sen (t) [H(t + k) - H(t - k) ]
Den rektangulære puls er defineret:
p (t) = H(t + k) - H(t - k)
Fourier-transformen anvendes til det følgende udtryk, der ligner moduleringssætningen.
f (t) = p (t) Sen (t)
Hvor: F [w] = (1/2) i [p (w + 1) - p (w - 1)]
Og Fourier-transformeringen er defineret af:
F [w] = (1/2) i [(2 / 2w + 1) Sen (k (w + 1)) - (2 / 2w + 1) Sen (k (w-1))]
Definer Fourier-transform til udtrykket:
Da f (h) er en jævn funktion, kan det siges, at
Integration af dele anvendes ved at vælge variablerne og deres forskelle som følger
u = sin (zh) du = z cos (zh) dh
dv = h (e-h)to v = (e-h)to / to
Udskiftning har du
Efter evaluering under den grundlæggende sætning af beregning
Ved anvendelse af forudgående viden om førsteordens differentialligninger betegnes udtrykket som
For at opnå K vurderer vi
Endelig er Fourier-transformationen af udtrykket defineret som
Endnu ingen kommentarer