Det binomial fordeling er en sandsynlighedsfordeling, hvormed sandsynligheden for forekomst af begivenheder beregnes, forudsat at de forekommer under to modaliteter: succes eller fiasko.
Disse betegnelser (succes eller fiasko) er helt vilkårlige, da de ikke nødvendigvis betyder gode eller dårlige ting. I løbet af denne artikel vil vi angive den matematiske form for binomefordelingen, og derefter vil betydningen af hvert udtryk blive forklaret detaljeret.
Artikelindeks
Ligningen er som følger:
Med x = 0, 1, 2, 3… .n, hvor:
- P (x) er sandsynligheden for at have nøjagtigt x succes mellem n forsøg eller forsøg.
- x er variablen, der beskriver fænomenet af interesse, svarende til antallet af succeser.
- n antallet af forsøg
- s er sandsynligheden for succes i 1 forsøg
- hvad er sandsynligheden for fiasko i 1 forsøg, derfor q = 1 - s
Udråbstegnet "!" bruges til fakultativ notation, så:
0! = 1
1! = 1
to! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Og så videre.
Binomialfordelingen er meget passende til at beskrive situationer, hvor en begivenhed opstår eller ikke opstår. Hvis det sker, er det en succes, og hvis ikke, så er det en fiasko. Derudover skal sandsynligheden for succes altid forblive konstant..
Der er fænomener, der passer til disse forhold, for eksempel kastet af en mønt. I dette tilfælde kan vi sige, at "succes" får et ansigt. Sandsynligheden er ½ og ændrer sig ikke, uanset hvor mange gange mønten kastes..
Rullet af en ærlig die er et andet godt eksempel, såvel som at kategorisere en bestemt produktion i gode stykker og defekte brikker og opnå en rød i stedet for en sort, når man drejer et roulettehjul..
Vi kan sammenfatte kendetegnene ved binomialfordelingen som følger:
- Enhver begivenhed eller observation trækkes fra en uendelig befolkning uden erstatning eller fra en endelig befolkning med erstatning.
- Kun to gensidigt eksklusive muligheder overvejes: succes eller fiasko, som forklaret i starten.
- Sandsynligheden for succes skal være konstant i enhver observation, der foretages.
- Resultatet af enhver begivenhed er uafhængig af enhver anden begivenhed.
- Gennemsnittet af binomialfordelingen er n.p.
- Standardafvigelsen er:
Lad os tage en simpel begivenhed, som muligvis får 2 hoveder 5 ved at rulle en ærlig die 3 gange. Hvad er sandsynligheden for at der opnås 2 hoveder på 5 i 3 kast?
Der er flere måder at opnå dette på, for eksempel:
- De første to ruller er 5, og den sidste ikke.
- Den første og den sidste er 5, men ikke den midterste.
- De sidste to kast er 5, og det første ikke.
Lad os tage den første sekvens, der er beskrevet som et eksempel, og beregne sandsynligheden for forekomst. Sandsynligheden for at få 5 hoveder på den første kast er 1/6 og også på den anden kast, da de er uafhængige begivenheder.
Sandsynligheden for at få et andet hoved end 5 på den sidste kast er 1 - 1/6 = 5/6. Derfor er sandsynligheden for, at denne sekvens kommer ud af sandsynligheden:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Hvad med de to andre sekvenser? De har samme sandsynlighed: 0,023.
Og da vi har i alt 3 vellykkede sekvenser, vil den samlede sandsynlighed være:
P (2 hoveder 5 i 3 kast) = Antal mulige sekvenser x sandsynlighed for en bestemt sekvens = 3 x 0,023 = 0,069.
Lad os nu prøve binomialet, hvor det er gjort:
x = 2 (at få 2 hoveder på 5 ud af 3 kast er succes)
n = 3
p = 1/6
q = 5/6
Der er flere måder at løse binomialfordelingsøvelser på. Som vi har set, kan det enkleste løses ved at tælle, hvor mange vellykkede sekvenser der er, og derefter multiplicere med de respektive sandsynligheder.
Men når der er mange muligheder, bliver tallene større, og det foretrækkes at bruge formlen.
Og hvis tallene er endnu højere, er der tabeller over binomialfordelingen. Imidlertid er de nu forældede til fordel for de mange slags regnemaskiner, der letter beregningen..
Et par har børn med en sandsynlighed på 0,25 for at have type O. Parret har i alt 5 børn. Svar: a) Passer denne situation til en binomialfordeling? B) Hvad er sandsynligheden for, at nøjagtigt 2 af dem er af type O?
a) Binomialfordelingen justeres, da den opfylder betingelserne i tidligere afsnit. Der er to muligheder: at have type O-blod er "succes", mens det ikke er "fiasko", og alle observationer er uafhængige..
b) Vi har binomialfordelingen:
x = 2 (få 2 børn med type O-blod)
n = 5
p = 0,25
q = 0,75
Et universitet hævder, at 80% af de studerende på college-basketballholdet dimitterer. En undersøgelse undersøger den akademiske rekord for 20 studerende, der tilhører det nævnte basketballhold, der tilmeldte sig universitetet for nogen tid siden.
Af disse 20 studerende afsluttede 11 deres grad og 9 droppede ud.
Hvis universitetets påstand er sand, skal antallet af studerende, der spiller basketball og kandidater, ud af 20 have en binomial fordeling med n = 20 Y p = 0,8. Hvad er sandsynligheden for, at nøjagtigt 11 af de 20 spillere dimitterer??
I binomialfordelingen:
x = 11
n = 20
p = 0,8
q = 0,2
Forskere gennemførte en undersøgelse for at afgøre, om der var signifikante forskelle i gradueringsgraden mellem medicinstuderende, der blev optaget gennem specielle programmer, og medicinstuderende, der blev optaget gennem regelmæssige optagelseskriterier..
Gradueringsgraden viste sig at være 94% for medicinstuderende, der blev optaget gennem specielle programmer (baseret på data fra Journal of the American Medical Association).
Hvis 10 af de specielle programmer, som studerende er tilfældigt valgt, skal du finde sandsynligheden for, at mindst 9 af dem er uddannet.
b) Ville det være usædvanligt at tilfældigt vælge 10 studerende fra særlige programmer og finde ud af, at kun 7 af dem er uddannet??
Sandsynligheden for, at en studerende optaget gennem et særligt program vil opgradere er 94/100 = 0,94. Er valgt n = 10 studerende fra specielle programmer, og du vil finde ud af sandsynligheden for, at mindst 9 af dem opgraderer.
Følgende værdier erstattes derefter i binomialfordelingen:
x = 9
n = 10
p = 0,94
b)
Endnu ingen kommentarer