EN magt serie består af en sammenfatning af vilkår i form af variabelens beføjelser x, eller mere generelt af x-c, hvor c er konstant reelt tal. I summeringsnotation udtrykkes en række beføjelser som følger:
∑an (x -c)n = aeller + til1 (x - c) + ato (x - c)to + til3 (x - c)3 +… + An (x - c)n
Hvor koefficienterne aeller, til1, tilto… Er reelle tal, og serien starter ved n = 0.
Denne serie er fokuseret på værdi c hvilket er konstant, men du kan vælge hvilket c er lig med 0, i hvilket tilfælde power-serien forenkles til:
∑an xn = aeller + til1 x + ato xto + til3 x3 +… + An xn
Serien begynder med tileller(x-c)0 Y tilellerx0 henholdsvis. Men vi ved det:
(x-c)0= x0 = 1
Derfor tileller(x-c)0 = tilellerx0 = tileller (uafhængig betegnelse)
Det gode ved power-serier er, at du kan udtrykke funktioner med dem, og dette har mange fordele, især hvis du vil arbejde med en kompliceret funktion.
Når dette er tilfældet, i stedet for at bruge funktionen direkte, bruges dens udvidelse i effektserier, som kan være lettere at udlede, integrere eller arbejde numerisk..
Selvfølgelig er alt betinget af konvergensen i serien. En serie konvergerer, når der tilføjes et bestemt stort antal udtryk giver en fast værdi. Og hvis vi stadig tilføjer flere udtryk, fortsætter vi med at opnå den værdi.
Artikelindeks
Lad os tage et eksempel på en funktion udtrykt som en magtserie f (x) = ex.
Denne funktion kan udtrykkes i form af en række beføjelser som følger:
ogx ≈ 1 + x + (xto / 2!) + (X3 / 3!) + (X4 / 4!) + (X5 / 5!) +…
Hvor! = n. (n-1). (n-2). (n-3) ... og det tager 0! = 1.
Vi skal kontrollere ved hjælp af en lommeregner, at serien faktisk falder sammen med den funktion, der udtrykkeligt er angivet. Lad os for eksempel starte med at lave x = 0.
Vi ved, at e0 = 1. Lad os se, hvad serien gør:
og0 ≈ 1 + 0 + (0to / 2!) + (03 / 3!) + (04 / 4!) + (05 / 5!) +… = 1
Og lad os nu prøve med x = 1. En lommeregner viser det og1 = 2.71828, og lad os derefter sammenligne med serien:
og1 ≈ 1 + 1 + (1to / 2!) + (13 / 3!) + (14 / 4!) + (15 / 5!) +… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167
Med kun 5 vilkår har vi allerede et nøjagtigt match i e ≈ 2,71. Vores serie har bare lidt mere at gå, men når flere vilkår tilføjes, konvergerer serien bestemt til den nøjagtige værdi af og. Repræsentationen er nøjagtig hvornår n → ∞.
Hvis ovenstående analyse gentages til n = 2 meget ens resultater opnås.
På denne måde er vi sikre på, at den eksponentielle funktion f (x) = ex kan repræsenteres af denne række beføjelser:
Funktionen f (x) = ex det er ikke den eneste funktion, der understøtter en magtserierepræsentation. For eksempel funktionen F(x) = 1/1 - x ligner meget det velkendte konvergerende geometriske serier:
∑a.rn = a / 1 - r
Det er nok at gøre a = 1 og r = x for at opnå en serie, der passer til denne funktion, som er centreret ved c = 0:
Det vides imidlertid, at denne serie er konvergent for │r│<1, por lo tanto la representación es válida únicamente en el intervalo (-1,1), aunque la función sea válida para todo x, excepto x=1.
Når du vil definere denne funktion i et andet interval, skal du blot fokusere på en passende værdi, og du er færdig..
Enhver funktion kan udvikles i en effektserie centreret på c, så længe den har derivater af alle ordrer ved x = c. Proceduren bruger følgende sætning, kaldet Taylors sætning:
Lad f (x) være en funktion med afledte ordener n, betegnet som F(n), som indrømmer en række magtudvidelser i intervallet jeg. Dens udvikling i taylor-serien det er:
Så det:
f (x) = f (c) + f '(c) (x-c) + f "(c) (x-c)to / 2 + f "(c) (x-c)3 / 6 + ... Rn
Hvor Rn, som er serie nr. kaldes rest:
Når c = 0 kaldes serien Maclaurin-serien.
Denne serie, der er givet her, er identisk med den serie, der blev givet i begyndelsen, kun nu har vi en måde til eksplicit at finde koefficienterne for hvert udtryk, givet ved:
Det skal dog sikres, at serien konvergerer til den funktion, der skal repræsenteres. Det sker, at ikke alle Taylor-serier nødvendigvis konvergerer til f (x), som man havde i tankerne ved beregning af koefficienter tiln.
Dette sker, fordi funktionens derivater evalueret i x = c falder sammen med den samme værdi af derivaterne af en anden, også i x = c. I dette tilfælde ville koefficienterne være de samme, men udviklingen ville være tvetydig, da det ikke er sikkert, hvilken funktion det svarer til..
Heldigvis er der en måde at vide:
Konvergenskriterium
For at undgå tvetydighed, hvis Rn → 0 når n → ∞ for alle x i intervallet I, konvergerer serien til f (x).
Find Geometric Power Series til funktionen f (x) = 1/2 - x centreret ved c = 0.
Den givne funktion skal udtrykkes på en sådan måde, at den falder sammen så tæt som muligt med 1 / 1- x, hvis serie er kendt. Lad os derfor omskrive tæller og nævner uden at ændre det originale udtryk:
1/2 - x = (1/2) / [1 - (x / 2)]
Da ½ er konstant, kommer den ud af summeringen, og den skrives i form af den nye variabel x / 2:
Bemærk, at x = 2 ikke hører til funktionens domæne og i henhold til konvergenskriteriet i afsnit Geometrisk kraft serie, udvidelsen er gyldig i │x / 2│< 1 o equivalentemente -2 < x < 2.
Find de første 5 termer i Maclaurin-seriens udvidelse af funktionen f (x) = sin x.
Derivater findes først:
-Afledt af rækkefølge 0: det er den samme funktion f (x) = sin x
-Første afledte: (sin x) '= cos x
-Andet afledt: (sin x) "= (cos x) '= - sin x
-Tredje afledte: (sin x) "= (-sen x) '= - cos x
-Fjerde afledte: (sin x) "= (- cos x) '= sin x
Derefter vurderes hvert derivat til x = c, ligesom en Maclaurin-ekspansion, c = 0:
sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0
Koefficienterne a konstrueresn;
tileller = 0/0! = 0; til1 = 1/1! = 1; tilto = 0/2! = 0; til3 = -1 / 3! til4 = 0/4! = 0
Endelig er serien samlet i henhold til:
sin x ≈ 0.x0 + 1. x1 + 0 .xto - (1/3!) X3 + 0.x4… = X - (1/3!)) X3 +...
Har læseren brug for flere vilkår? Hvor mange flere kommer serien tættere på funktionen.
Bemærk, at der er et mønster i koefficienterne, det næste ikke-nul udtryk er a5 og alle dem med ulige indeks er også forskellige fra 0, skiftevis tegnene, så:
sin x ≈ x - (1/3!)) x3 + (1/5!)) X5 - (1/7!)) X7 +... .
Det efterlades som en øvelse for at kontrollere, at den konvergerer, du kan bruge kvotientkriterium til seriekonvergens.
Endnu ingen kommentarer