Det Euclids sætning demonstrerer egenskaberne af en højre trekant ved at tegne en linje, der deler den i to nye højre trekanter, der ligner hinanden og til gengæld ligner den oprindelige trekant; så er der et forhold mellem proportionalitet.
Euclid var en af de største matematikere og geometrikere i den gamle tid, der udførte flere beviser for vigtige sætninger. En af de vigtigste er den, der bærer hans navn, som har haft en bred anvendelse.
Dette har været tilfældet, fordi det gennem denne sætning på en enkel måde forklarer de geometriske relationer, der findes i den rigtige trekant, hvor benene på dette er relateret til deres fremspring i hypotenusen..
Artikelindeks
Euclids sætning foreslår, at i hver ret trekant, når en linje tegnes - som repræsenterer den højde, der svarer til toppunktet for den rigtige vinkel i forhold til hypotenusen - dannes to højre trekanter fra originalen.
Disse trekanter svarer til hinanden og ligner også den oprindelige trekant, hvilket betyder, at deres ens sider er proportionale med hinanden:
Vinklerne på de tre trekanter er kongruente; det vil sige, når de drejes 180 grader omkring deres toppunkt, falder den ene vinkel sammen med den anden. Dette indebærer, at de alle vil være ens.
På denne måde kan ligheden, der eksisterer mellem de tre trekanter, også verificeres ved lighed med deres vinkler. Fra lighed med trekanter fastslår Euclid proportionerne af disse ud fra to sætninger:
- Højde sætning.
- Ben sætning.
Denne sætning har en bred anvendelse. I oldtiden blev det brugt til at beregne højder eller afstande, hvilket repræsenterer et stort fremskridt for trigonometri.
Det anvendes i øjeblikket i forskellige områder, der er baseret på matematik, såsom teknik, fysik, kemi og astronomi, blandt mange andre områder..
I denne sætning er det fastslået, at i enhver ret trekant er højden trukket fra den rigtige vinkel i forhold til hypotenusen det geometriske proportionale gennemsnit (kvadratet af højden) mellem benets fremspring, som det bestemmer på hypotenusen.
Det vil sige, at højdens firkant er lig med multiplikationen af de projicerede ben, der danner hypotenusen:
hcto = m * n
Givet en trekant ABC, som er lige ved hjørnet C, genererer tegning af højden to lignende højre trekanter, ADC og BCD; derfor er deres tilsvarende sider proportionale:
På en sådan måde, at højden hc som svarer til segmentet CD, svarer til hypotenusen AB = c, så vi har:
Til gengæld svarer det til:
Løsning af hypotenusen (hc), for at multiplicere de to medlemmer af ligestillingen skal vi:
hc * hc = m * n
hcto = m * n
Således er værdien af hypotenusen givet af:
I denne sætning fastslås det, at målene for hvert ben i hver højre trekant vil være det geometriske proportionale gennemsnit (kvadratet for hvert ben) mellem målet for hypotenusen (komplet) og projektionen af hver enkelt på den:
bto = c * m
tilto = c* n
Givet en trekant ABC, som er lige ved toppunktet C, på en sådan måde, at dens hypotenus er c, når der planlægges højden (h) bestemmes fremspringene på benene a og b, som er henholdsvis segmenterne m og n, og som ligger på hypotenusen.
Således har vi, at højden tegnet på den højre trekant ABC genererer to ens højre trekanter, ADC og BCD, så de tilsvarende sider er proportionale, sådan:
DB = n, som er projektionen af ben CB på hypotenusen.
AD = m, hvilket er projektionen af benet AC på hypotenusen.
Derefter bestemmes hypotenusen c af summen af benene på dens fremspring:
c = m + n
På grund af ligheden mellem trekanterne ADC og BCD har vi:
Ovenstående er det samme som:
Løsning for ben "a" for at multiplicere de to medlemmer af ligestillingen, vi har:
til * a = c * n
tilto = c * n
Værdien af ben "a" gives således af:
På samme måde på grund af ligheden mellem trekanterne ACB og ADC har vi:
Ovenstående er lig med:
Løsning for ben "b" for at multiplicere de to medlemmer af ligestillingen, vi har:
b * b = c * m
bto = c * m
Værdien af ben "b" gives således af:
Sætningerne med henvisning til højden og benene er relateret til hinanden, fordi målene for begge er lavet med hensyn til hypotenusen i den rigtige trekant.
Gennem forholdet mellem Euclids sætninger kan værdien af højden også findes; dette er muligt ved at løse værdierne m og n fra benteoremet, og de erstattes i højdesætningen. På denne måde er det tilfreds med, at højden er lig med multiplikationen af benene divideret med hypotenusen:
bto = c * m
m = bto ÷ c
tilto = c * n
n = ato ÷ c
I højde sætningen erstatter vi m og n:
hcto = m * n
hcto = (bto ÷ c) * (tilto ÷ c)
hc = (bto * tilto) ÷ c
I betragtning af trekanten ABC, lige ved A, bestem målingen for AC og AD, hvis AB = 30 cm og BD = 18 cm
I dette tilfælde har vi målingerne på et af de projicerede ben (BD) og et af benene i den oprindelige trekant (AB). På denne måde kan benteoremet anvendes til at finde værdien af ben BC.
ABto = BD * F.Kr.
(30)to = 18 * F.Kr.
900 = 18 * F.Kr.
BC = 900 ÷ 18
BC = 50 cm
Værdien af ben-CD'en kan findes ved at vide, at BC = 50:
CD = BC - BD
CD = 50 - 18 = 32 cm
Nu er det muligt at bestemme værdien af ben AC ved at anvende ben sætningen igen:
ACto = CD * BD
ACto = 32 * halvtreds
ACto = 160
AC = √1600 = 40 cm
For at bestemme værdien af højden (AD) anvendes højdestillingen, da værdierne for de projicerede ben CD og BD er kendte:
ADto = 32 * 18
ADto = 576
AD = √576
AD = 24 cm
Bestem værdien af højden (h) af en trekant MNL lige i N, idet du kender målene for segmenterne:
NL = 10 cm
MN = 5 cm
PM = 2 cm
Vi har målene for et af benene projiceret på hypotenusen (PM) samt målingerne af benene i den oprindelige trekant. På denne måde kan bensætningen anvendes til at finde værdien af det andet projicerede ben (LN):
NLto = PM * LM
(10)to = 5 * LM
100 = 5 * LM
PL = 100 ÷ 5 = 20
Da værdien af benene og hypotenusen allerede er kendt, kan værdien af højden bestemmes gennem forholdet mellem højdens og benens sætninger:
NL = 10
MN = 5
LM = 20
h = (bto * tilto) ÷ c.
h = (10to * 5to) ÷ (tyve)
h = (100 * 25) ÷ (tyve)
h = 2500 ÷ tyve
h = 125 cm.
Endnu ingen kommentarer